TÓM TẮT
Trong phạm vi của luận án này, chúng tôi dành phần lớn cho việc nghiên cứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạng
I(A) = είλφ(2) f(x)dx R
và các bài toán liên quan đến nó; trong đó X là một số dương đủ lớn, là hàm trơn có giá trị thực được gọi là hàm pha, ƒ là hàm trơn có giá trị phức gọi là hàm biên độ.
Theo Elias M. Stein, có ba vấn đề cơ bản khi xét dáng điệu của I(X), khi A → +00, là địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận. Có nhiều phương pháp và công cụ để khảo sát dáng điệu của tích phân dao động 1(λ), trong đó việc sử dụng các tính chất của đa diện Newton của hàm pha là một trong những công cụ hữu hiệu.
Luận án này gồm có 3 chương. Trong chương một chúng tôi nghiên cứu tổng quan về tích phân kỳ dị dao động. Trước tiên chúng tôi nghiên cứu phương pháp pha dừng, tiếp theo là nghiên cứu tích phân dao động theo ba vấn đề cơ bản của Elias M. Stein và các học trò. Sau cùng chúng tôi nghiên cứu những kết quả gần đây của E.M. Stein, D.H. Phong, J.A. Sturm, B. Malgrange, V.I. Arnold, A.N. Varchenko, M. Greenblatt, I. Parissis,…. trong trường hợp hàm pha là đa thức, hoặc là hàm giải tích. Đặc biệt chú ý đến các số mũ trong công thức tiệm cận của tích phân dao động, mối liên hệ giữa chúng với các tính chất của đa diện Newton của hàm pha 6. Những kết quả đó cũng là động cơ và là khởi nguồn của những kết quả của chúng tôi.
Trong chương hai, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thức Bern-stein và hàm gamma Euler, trong đó làm rõ mối liên hệ giữa nghiệm của đa thức Bernstein và giá trị riêng của ma trận monodromy của một hàm giải tích thông qua các ví dụ, ban đầu đã nhận được hàm gamma suy rộng ly từ hàm gamma Euler ứng với ƒ là một đơn thức, và nhận
được nhiều tính chất tương tự như các tính chất của hàm gamma Euler
([Vị trí 11], [LT12]).
Trong chương ba, chúng tôi nghiên cứu tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ trong các công thức tiệm cận mà chúng tôi thu được, được biểu diễn một cách tường minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó ([VL14]).
