THÔNG TIN TÓM TẮT VỀ NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN TIẾN SĨ
Tên đề tài luận án: Giải tích biến phân và một số bài toán tối ưu đặc biệt
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
Nghiên cứu sinh: Nguyễn Thái An
Tập thể hướng dẫn:
1. GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên (Viện Toán học
2. PGS. TS. Nguyễn Mậu Nam (Portland State University)
Cơ sở đào tạo: Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Luận án nghiên cứu các phiên bản mở rộng của một số bài toán tối ưu cổ điển như bài toán Fermat-Torricelli và bài toán đường tròn bao nhỏ nhất. Các kết quả của luận án mở rộng các kết quả đã có khi thay các “điểm” trong các mô hình trước đây bằng các tập lồi đóng. Trong luận án, các công cụ của giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu được áp dụng để thu được các kết quả mới về mặt lý thuyết như sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu hay cấu trúc của tập nghiệm cho từng bài toán. Sau đó, bằng cách sử dụng và kết hợp một số phương pháp đã biết như phương pháp đạo hàm nhanh và kỷ thuật trơn hóa của Nesterov, nguyên lý làm trội – cực tiểu và thuật toán DC để đưa ra các thuật toán thích hợp để giải xấp xỉ các bài toán này. Một phần khác trong luận án nghiên cứu thuật toán giải bài toán tối ưu với hàm mục tiêu là hiệu của một hàm không lồi và một hàm lồi.
Luận án đã đạt được các kết quả chính sau đây:
1. Dựa trên kỷ thuật trơn hóa của Nesterov và nguyên lý làm trội – cực tiểu, chúng tôi đã đề xuất các thuật toán hữu hiệu để giải một số mô hình mới của bài toán Fermat-Torricelli cổ điển.
2. Đưa ra các định lý về sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và điều kiện tối ưu cho bài toán hình cầu giao nhỏ nhất. Đồng thời đề xuất thuật toán hữu hiệu giải bài toán này dựa trên kỷ thuật làm trơn hàm log-exponential và phương pháp đạo hàm nhanh của Nesterov.
3. Đưa ra các kết quả về sự tồn tại nghiệm cho bài toán Fermat-Torricelli không lồi có trọng số và đề xuất thuật toán giải dựa trên thuật toán DCA và thuật toán Weiszfeld.
4. Phân tích sự hôi tụ của một thuật toán điểm gần kề để giải các bài toán tối ưu với hàm mục tiêu là hiệu của một hàm không lồi và một hàm lồi.
