MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Các bài toán biên tuyến tính đối với phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng trong các miền với biên trơn [3] đã được các nhà toán học nghiên cứu khá hoàn thiện ở nữa đầu thế kỷ XX. Các bài toán biên loại dừng trong các miền trơn đã được nghiên cứu nhờ phép phân hoạch đơn vị để đưa bài toán đang xét về bài toán trong toàn không gian và nửa không gian [19, 24, 27]. Các bài toán biên không dừng trong các hình trụ với đáy là miền có biên trơn được nghiên cứu nhờ phép biến đổi Laplace hoặc phép biến đổi Fourier để đưa về bài toán dừng với tham biến trong miền trơn.
Từ giữa thế kỷ XX, bài toán biên tổng quát đối với phương trình elliptic trong miền với biên kỳ dị đã được nghiên cứu, các kết quả quan trọng về tính đặt đúng của bài toán cũng như tính trơn và tiệm cận của nghiệm trong miền với các điểm nón trên biên đã nhận được [49, 50]. Nhà khoa học V.A.Kondratiev đã giải quyết được một số vấn đề mang tính nguyên lí để khắc phục điểm kì dị kiểu nón của bài toán biên tổng quát đối với phương trình elliptic. Tiếp theo, một số nhà toán học khác đã dựa trên các phương pháp của V.A.Kondratiev để nghiên cứu các bài toán biên đối với các hệ dừng trong các miền với các điểm kỳ dị trên biên [15, 25, 26, 51, 47, 52, 53]. Bài toán biên tổng quát đối với phương trình elliptic trong miền đa diện đã được V. Maz’ya, J. Rossomann nghiên cứu về tính giải được trong các không gian L2 Sobolev có trọng, không gian Hölder có trọng trong các miền nhị diện, miền nón có cạnh, miền kiểu đa diện [60], những kết quả căn bản của toán tử pencil đã được áp dụng trong việc khẳng định tính giải được của bài toán. Những kết quả đạt được của bài toán biên tổng quát đối với phương trình elliptic trong các miền có điểm nón, miền có điểm lùi, miền có cạnh, miền kiểu đa giác… là cơ sở quan trọng cho các kết quả nghiên cứu về các bài toán biên đối với phương trình, hệ phương trình không dừng.
Cho đến những năm của thập niên 90 của thế kỷ XX, bởi các phương pháp như là phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace… chưa đủ mạnh để giúp chúng ta khẳng định những kết quả quan trọng của các bài toán không dừng trong các miền không trơn. Cuối thế kỷ XX, nhờ phương pháp cắt thiết diện, bài toán không dừng đã được xét trên một thiết diện như là một bài toán dừng [31, 32, 34, 38, 39, 40, 35, 36, 43, 44, 57]. Với phương pháp này, bài toán không dừng với hệ số phụ thuộc thời gian đã được khảo sát, thể hiện ở tính đặt đúng của bài toán không dừng trong miền bất kỳ và biểu diễn tiệm cận của nghiệm gần điểm nón trên biên trong [32]. Trong cùng khoảng thời gian này, các kết quả về tính giải được, tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian đối với bài toán biên ban đầu thứ nhất, thứ hai trong các trụ với đáy là miền với biên bất kỳ đã được xác định. Đặc biệt, tính trơn của nghiệm theo biến không gian của bài toán biên đối với hệ phương trình hyperbolic trong các trụ với đáy là miền chứa điểm nón, điểm góc đã khẳng định trong [31]. Biểu diễn tiệm cận của nghiệm gần điểm nón của bài toán biên tổng quát đối với hệ hyperbolic trong trụ với đáy là miền chứa điểm nón cũng đã nhận được sau đó. Nhìn lại, các kết quả đạt được của các bài toán không dừng mới chỉ xét trong các trụ hữu hạn có đáy là miền không trơn. Các kết quả nhận được sau đó đối với phương trình không dừng parabolic, trong các công trình [38, 40, 39, 35, 57] bài toán không dừng parabolic được xét trong các trụ vô hạn với biên không trơn và đã thu được tính đặt đúng, biểu diễn tiệm cận của nghiệm khi biến thời gian tiến ra vô cùng. Tính chính quy của nghiệm của bài toán biên tổng quát trong trụ vô hạn với đáy chứa điểm nón được đưa ra trong [36] và của bài toán biên ban đầu đối với hệ không dừng parabolic cấp hai trong trụ hữu hạn với đáy là đa giác được đề cập trong [57].
