Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ sở về đại số Steenrod, cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod, các tiêu chuẩn về đơn thức chấp nhận được, đơn thức hit trong Pk, các hàm số học và một số tính chất của nó. Trong toàn bộ luận án này, chúng tôi xét vành hệ số là trường nguyên tố F2 gồm hai phần tử.
1.1 Đại số Steenrod
Trong mục này, chúng tôi trình bày cấu trúc đại số của đại số Steenrod mod-2. Ý nghĩa hình học của đại số này được trình bày chi tiết trong Steenrod-Epstein [38].
~i Ký hiệu A là đại số kết hợp tự do trên trường F2, sinh bởi tập hợp các kíhiệu Sq bậc i, với i là số nguyên không âm. Gọi B là iđêan của A sinh bởi tập hợp các phần tử có dạng ab a+b-jj ~0
qq – Σ Sq j=0 (b-1-j Sat-10 < a < 2b} ∪ { a-2j Sq ) trong đó (2) là hệ số nhị thức được tính theo mod 2 và quy ước (2) = 0 nếu n < k. Đại số thương A = A/B được gọi là đại số Steenrod mod 2. Ký hiệu Sq’ là lớp trong A có đại diện là Sq.
Khi đó trong đại số A có quan hệ [a/2] SqSq = Σ (6-1-1) Sqa+b-iSq, với 0 < a < 2b và Sqº = 1. a-2j j=0
Các quan hệ trên được gọi là các quan hệ Adem của đại số Steenrod A. Các ký hiệu Sq gọi là toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i.
1.2 Cấu trúc A-môđun của đại số đa thức
Chúng tôi nhắc lại rằng đối đồng điều của không gian (RP)* là đại số đa thức P = F2[11, x2,…, 2] trên F₂ sinh bởi các biến x₁, mỗi 2, đều có bậc 1. Đại số Steenrod A tác động lên Pa được cho bởi công thức tường minh sau: Xj, i = 0, Sq(x)=x, i= 1, { 0, i > 1,
và công thức Cartan Sqr(xy) = ∑ Sq(x) S¢'(x)Sq*^*(y), Sq (y), i=0 với x, y ∈ Pr. Với các tác động như trên, đại số P là một môđun trên đại số Steenrod A.
Như đã nói trong phần mở đầu, bài toán mà chúng tôi quan tâm là tìm tập sinh cực tiểu của đại số đa thức Pử được xét như môđun trên đại số Steenrod A. Bài toán này được gọi là bài toán hit đối với đại số đa thức hay bài toán hit của Peterson. Nếu xét F2 như một A-môđun tầm thường thì bài toán hit tương đương với bài toán tìm một cơ sở của F2-không gian véctơ phân bậc
F2APP/A+Pk
trong đó A+ là iđêan của A sinh bởi các toán tử Steenrod Sq², i > 0 và A+ Pk là tập hợp tất cả các đa thức trong Pẽ được biểu diễn dưới dạng ∑i>0 Sqfi, trong đó fi ∈ Pk và bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn.
