TRÍCH YẾU LUẬN ÁN
Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Hà
Tên đề tài luận án: Mô đun nội xạ cốt yếu: Các đặc trưng và mở rộng.
Ngành: Đại số và Lý thuyết số.
Mã số: 9 46 01 04
Người hướng dẫn:
1. PGS. TS. Trương Công Quỳnh
2. GS. TS. Lê Văn Thuyết.
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế.
1. Mục tiêu và đối tượng nghiên cứu.
Mục tiêu: Mục tiêu đặt ra của đề tài là nghiên cứu các tính chất của môđun nội xạ cốt yếu, một khái niệm đã được các nhà toán học đưa ra từ những năm cuối thế kỷ trước và cũng đã có nhiều bài báo nghiên cứu vấn đề này. Luận án tiếp tục khảo sát tính chất của những môđun nội xạ cốt yếu nhằm tìm ra mối liên hệ với những lớp môđun khác đồng thời tìm ra thêm những tính chất đặc trưng của các lớp vành quen thuộc.
Đối tượng nghiên cứu:
– Các tính chất mới của môđun nội xạ cốt yếu, các mô đun liên quan như môđun bất biến đẳng cấu, môđun xạ ảnh bé, môđun đối bất biến đẳng cấu.
– Các vành quen thuộc: Noether, V-vành, Artin, vành đơn, nửa đơn…
2. Phương pháp nghiên cứu.
Trong Toán học, việc nghiên cứu các cấu trúc vành và mô đun thường đi liền với nhau, có mối liên hệ rất gần gũi với nhau. Để đi đến những kết luận về cấu trúc vành, có một phương pháp khá phổ biến là người ta nghiên cứu cấu trúc các môđun trên vành đó và từ đó rút ra những tính chất của bản thân vành cơ sở. Có rất nhiều tác giả dùng phương pháp nghiên cứu này và trên thực tế, ngoài số lượng rất nhiều các bài báo được công bố theo hướng này, còn có những sách chuyên khảo nổi
tiếng phục vụ cho giới nghiên cứu, chẳng hạn như sách của Jacobson, Lambek, Anderson và Fuller và nhiều người khác nữa. Vì thế, trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua việc xem xét các môđun trên chúng.
3. Kết quả chính và kết luận.
Kết quả chính.
Các kết quả chính của luận án được thể hiện qua các định lý sau:
1. (Định lý 2.2.2) Các điều kiện sau là tương đương đối với các mô đun M và N :
(1) M là N-nội xạ cốt yếu.
(2) Với mỗi R-đồng cấu a : E(N) → E(M) từ bao nội xạ của N vào bao nội xạ của M với hạt nhân cốt yếu thì a(N) ≤ M .
(3) a(N) ≤ M với mọi a nằm trong J[E(N), E(M)] của Hom(E(N),E(M)).
2. (Định lý 2.2.9) Các điều kiện sau là tương đương đối với một R-môđun phải M và bao nội xạ u: M→E(M):
(1) M là môđun bất biến đẳng cấu.
(2) M là môđun tựa nội xạ cốt yếu và End(M)/A(M) ổn định với phép nhân bên trái
bởi phần tử khả nghịch của End(E(M))/J(End(E(M))).
Trong trường hợp này, M thỏa mãn tính chất trao đổi.
3. (Định lý 2.2.12) Các điều kiện sau đây tương đương đối với một vành R:
(1) R có ACC trên các iđêan phải cốt yếu của R (nghĩa là, R/Soc(Rp) là vành Noether phải).
(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ cốt yếu là nội xạ cốt yếu.
(3) Nếu Ko, K1, …, K… là các môđun phải đơn, thì ĐNE(K) là nội xạ cốt yếu.
(4) e Re, R là nội xạ cốt yếu với mọi mô đun nội xạ cốt yếu ER.
