THÔNG TIN TÓM TẮT VỀ NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN TIẾN SĨ
Tên đề tài luận án: Một số bài toán ngược cho phương trình elliptic với quan sát biên (Some inverse problems for elliptic equations with boundary observations).
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 9 46 01 12
Nghiên cứu sinh: Lê Thị Thu Giang
Người hướng dẫn: GS. TSKH. Đinh Nho Hào
Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Cơ sở đào tạo: Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Mục tiêu của luận án
Luận án này nghiên cứu về bài toán Cauchy và bài toán xác định về phải của phương trình eliptic tuyến tính bậc hai với quan sát trên biên. Các bài toán này là các bài toán đặt không chỉnh. Do đó, mục tiêu của luận án là chỉnh hóa các bài toán đó, đề xuất cách chọn tham số hiệu chỉnh, các phương pháp giải số phù hợp, đánh giá sai số của các phương pháp giải số đó và đưa ra một số ví dụ số để minh họa cho tính hữu hiệu của các phương pháp đã sử dụng.
Các kết quả chính của luận án: Luận án đã đạt được các kết quả chính sau đây:
Chương 1 nghiên cứu về bài toán Cauchy cho các phương trình elliptic. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một khái niệm mới về nghiệm rất yếu cho bài toán Cauchy và bài toán hiệu chỉnh của nó – bài toán biên không địa phương cho phương trình elliptic. Sau đó, chúng tôi rời rạc hóa bài toán biên không địa phương bằng phương pháp sai phân hữu hạn và chứng minh sự ổn định của phương pháp, từ đó suy ra sự hội tụ của phương pháp.
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho các phương trình elliptic với quan sát trên biên. Bài toán này có thể viết dưới dạng phương trình toán tử. Chúng tôi đã sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để chỉnh hóa phương trình toán tử và rời rạc nó dựa trên ý tưởng rời rạc biến phân (variational discretization) của Hinze, rồi sau đó đề xuất một quy tắc chọn tham hiệu chỉnh phụ thuộc vào mức độ nhiễu trong dữ liệu quan sát và bước lưới và nhận được tốc độ hội tụ tối ưu. Kết quả đã này được áp dụng cho phương pháp phần tử hữu hạn để giải số bài toán xác định về phải và được thực hiện bằng số trên máy tính.
Chương 3, chúng tôi xét bài toán xác định về phải của một phương trình eliptic với hệ số hằng và hệ số biến thiên trong hình trụ từ các quan sát trên biên. Dựa vào cấu trúc đặc biệt của phương trình đang xét và miền hình trụ, lời giải của bài toán thuận và bài toán ngược có thể biểu diễn qua chuỗi Fourier. Do bài toán đặt không chỉnh nên chúng
tôi hiệu chỉnh nó bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier và đưa ra cách chọn số các hệ số Fourier để phương pháp hội tụ và chỉ ra tốc độ hội tụ.
Cuối mỗi chương, chúng tôi trình bày một số ví dụ giải số để thể hiện tính hiệu quả của các phương pháp đã đề xuất.
