Chương 1: Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh
Chương này gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản trong không gian Hilbert và không gian Banach. Mục 1.2 giới thiệu khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu cùng với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U-đơn điệu. Trong mục 1.3, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh, các bài toán dẫn về hệ phương trình đặt không chỉnh và một số phương pháp hiệu chỉnh cho hệ bài toán này.
1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm được sử dụng trong các chương sau (xem [3], [6], [18], [21], [44], [49], [53], [64]).
Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính X được gọi là không gian tiền Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác định một hàm thực hai biến, ký hiệu là (x, y) và được gọi là tích vô hướng của x và y nếu thỏa mãn điều kiện sau:
Với mọi x, y ∈ X, (x, y) = (y, x);
Với mọi x, y, z ∈ X, (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
Với mọi x, y ∈ X và số thực ở bất kỳ (Bx,y) = 3 (x,y);
Với mọi x ∈ X, (x,x) ≥ 0 và (x, x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Với hàm ||2|| = (x, 2)1/2 thì X trở thành một không gian định chuẩn.
Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu nó là không gian đủ.
Cho x và y thuộc không gian tích vô hướng X, khi đó ta có các quy tắc sau:
Bất đẳng thức tam giác: ||x + y ≤ x+y;
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: (x, y)| < ||xy;
Quy tắc hình bình hành: ||x + y||² + ||xy||22||2||² + 2||y||2.
Định nghĩa 1.2 Trong không gian Banach X, toán tử đa trị U : X → 2X được gọi là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc nếu
U(x) = {u(x) ∈ X*: (x, u(x)) = ||||||u(x)||, ||u(x)|| = ||2||}.
Định nghĩa 1.3 Toán tử A : X → X được gọi là
U – đơn điệu trên X, nếu tồn tại u(x – y) ∈ U(xy) sao cho (A(x) – A(y), u(x – y)) ≥ 0 với Vx, y ∈ X.
U – đơn điệu mạnh trên X với hằng số a, nếu tồn tại một hằng số a > 0 sao cho (A(x) – A(y), u(xy)) ≥ al|xy||2, Vx, y ∈ X.
