Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những bài toán cổ điển đồng hành cùng quá trình phát triển của Giải tích toán học đó là bài toán liên quan đến tính khả tích. Các vấn đề liên quan đến tính khả tích đặt ra thường là để trả lời các câu hỏi: Hàm đã cho có khả tích hoặc khả tích địa phương hay không ? Với tham số liên quan như thế nào thì hàm phụ thuộc tham số ấy là khả tích ? Tính khả tích địa phương tại một điểm có mối liên hệ như thế nào đối với tính chất của hàm tại điểm đó ? v.v… Trong lý thuyết Hình học Đại số và Giải tích phức, tính khả tích địa phương của hàm số có liên quan chặt chẽ tới tính kì dị của hàm tại điểm đã cho. Khi xét tính khả tích địa phương hàm, c > 0 tại điểm 0, với ƒ là hàm chỉnh hình trên Cª sao cho f(0) = 0 thì rõ ràng chính giá trị c lại cung cấp cho ta nhiều thông tin hữu ích về tính chất của hàm ƒ. Chúng ta có thể đặt ra vấn đề tổng quát là: Với những giá trị nào của t ∈ R thì hàm [f] khả tích địa phương tại 02 Xuất phát từ thực tế hiển nhiên là nếu to là số thực thỏa mãn yêu cầu trên thì với mọi t < to hàm |ƒ đều khả tích địa phương. Một cách tự nhiên, điều này lại dẫn tới bài toán nghiên cứu về giá trị tới hạn của t, là giá trị mà kể từ khi vượt qua nó hàm [ƒ không còn khả tích địa phương nữa. Giá trị tới hạn nói trên của t được gọi là ngưỡng chính tắc của hàm ƒ tại 0 và kí hiệu là cs(0).
Khái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hình học Đại số. Kể từ đó, vấn đề này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Giống như số LeLong, ngưỡng chính tắc có mối quan hệ mật thiết với mức độ kì dị của hàm tại một điểm nên việc nghiên cứu tính kì dị của một siêu mặt trong rất nhiều trường hợp khác nhau có thể thông qua nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm. Hơn nữa ngưỡng chính tắc còn có nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng trong lý thuyết Hình học Đại số, chẳng hạn ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại của metric Kähler – Einstein trên các đối tượng hình học quan trọng. Đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm và nghiên cứu như V. Shokurov, V. Alexeev, J-P. Demailly, J. Kollár, M.
Có thể thấy, cùng với sự ra đời, phát triển và hoàn thiện của lý thuyết về ngưỡng chính tắc thì Giả thuyết ACC (xem trong mục Tổng quan) về dãy ngưỡng chính tắc đóng một vai trò trung tâm. Đây là giả thuyết được đưa ra và nghiên cứu trong Hình học Đại số dưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau. Từ năm 1992 đến năm 2000 Giả thuyết ACC đã được chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian và được chứng minh trong trường hợp số chiều không gian tùy ý vào năm 2010. Tuy nhiên, tất cả những kết quả nêu trên đều chứng minh thuần túy bằng lý thuyết Hình học Đại số.
Một vấn đề khác cũng được quan tâm nghiên cứu là tính bị chặn trên và chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới và hàm chỉnh hình. Có thể nói tới một trong những kết quả quan trọng là của H. Skoda được cho trong tài liệu [76], trong đó tác giả đã đưa ra đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với cự(2) của hàm đa điều hòa dưới thông qua số Lelong v(4, 2) của hàm này tại z. Việc thiết lập đánh giá chặt hơn của H. Skoda trên đây có thể nói tới kết quả của J-P. Demailly và P. H. Hiệp trong [29] mà ở đó các tác giả đã cải thiện và cho một đánh giá chặt hơn của H. Skoda trên lớp hàm (2)- một lớp con của lớp hàm đa điều hòa dưới. Mặt khác, trong thời gian gần đây, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới đã được một số tác giả nghiên cứu như Z. Błocki, S. Dinew, S. Kołodziej, A. S. Sadullaev, B. I. Abullaev, L. H. Chinh,… Đặc biệt năm 2012, trong công trình [23], L. H. Chinh dựa theo ý tưởng của U. Cegrell đã đưa ra lớp hàm Em(2). Một câu hỏi đặt ra là liệu đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp còn đúng cho lớp hàm Em (2)- lớp mở rộng thực sự của lớp (2) hay không? Hơn nữa, có thể thấy rằng lớp hàm Em (2) được đưa ra bởi L. H. Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng và tồn tại, việc nghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc mỗ tả rõ ràng hơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục được quan tâm nghiên cứu.
Cuối cùng, vì một số trở ngại về công cụ và kỹ thuật cho nên việc tính ngưỡng chính tắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung vẫn là một bài toán chưa được giải quyết triệt để hoặc chưa có một ý tưởng về phương pháp đánh giá hữu hiệu nào, thay vì tìm
