TRANG THÔNG TIN NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT HỌC THUẬT, LÝ LUẬN CỦA LUẬN ÁN
Tên tác giả: Cao Trần Tứ Hải
– Tập thể hướng dẫn:
1. PGS.TS. Lê Anh Vũ
2. TS. Dương Minh Thành
Tên luận án: Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương
– Ngành khoa học của luận án: Toán học
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Khóa: 2015-2019
Mã số: 62 46 01 05
Tên cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
NỘI DUNG NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
(Về mặt học thuật, lý luận, những luận điểm mới rút ra được từ kết quả nghiên cứu, khảo sát của luận án)
Nội dung những đóng góp mới của luận án có ý nghĩa khoa học đồng thời đã tạo nên một số đóng góp nhất định cho lý thuyết Lie nói riêng, cho Lĩnh vực Đại số, Hình học và Tôpô nói chung, thể hiện qua một số kết quả mới được liệt kê dưới đây.
1. Nghiên cứu bài toán phân loại một số lớp con của các đại số Lie thực giải được hữu hạn chiều với đại số dẫn xuất đối chiều thấp. Cụ thể, phân loại triệt để đại số Lie thực giải được (n + 1) chiều với đại số dẫn xuất đối chiều 1 chiều với điều kiện đại số Lie lũy linh n chiều đã được phân loại. Hơn thế nữa, bài toán phân loại đại số Lie thực giải được (n + 2) chiều với đại số dẫn xuất đối chiều 2 được chỉ ra là bài toán wild. Trong trường hợp này, chúng tôi phân loại một lớp con của lớp các đại số Lie thực giải được (n + 2) chiều với đại số
dẫn xuất đối chiều 2 được mở rộng từ đại số dẫn xuất của chúng bằng một cặp đạo hàm chứa ít nhất một đạo hàm trong.
2. Các kết quả của luận án đã góp phần tích cực vào việc tính toán tường minh đối đồng điều của các đại số Lie thực giải được. Cụ thể, đối đồng điều của tất cả các đại số thuộc lớp đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất 1 chiều đã được mô tả đầy đủ.
3. Ngoài ra, bằng cách áp dụng phương pháp của Pouseele liên quan đến mở rộng của đại số Lie một chiều bởi đại số Lie Heisenberg, luận án đã tính toán được tường minh toàn bộ các số Betti bị cho một lớp con các đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 1, đó là lớp các đại số Lie Kim cương tổng quát.
4. Áp dụng phương pháp tính tích super-Poisson, luận án đã mô tả các đối đồng điều của tất cả các đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều, nhóm đối đồng điều của các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan, nhóm đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của tất cả các siêu đại số Lie toàn phương cơ bản mà đã được phân loại.
5. Nhờ phép mô tả tường minh không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều, luận án đã tính toán tường minh nhóm đối đồng điều thứ hai của chúng.
6. Sử dụng mở rộng kép và mở rộng kép tổng quát kết hợp với một số kết quả phân loại quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie symplectic, luận án đã phân loại các đại số Lie toàn phương giải được và siêu đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều.
